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\\nabla\\times(\\nabla\\times\\pmb{u})\\\\\n", "\\pmb{N}(\\pmb{u}) \\equiv - \\pmb{u}\\cdot\\nabla\\pmb{u} = -\\frac{1}{2}\\left[ \\pmb{u}\\cdot\\nabla\\pmb{u} + \\nabla(\\pmb{u}\\cdot\\pmb{u})\\right]\n", "$$\n", "\n", "Dado o campo de velocidades no instante $t_n$, como calcular isso no instante $t_{n+1}$\n", "\n", "$$\n", "\\pmb{u}^{n+1} - \\pmb{u}^{n}= -\\int_{t_n}^{t_{n+1}} \\nabla p \\: dt + \\frac{1}{Re}\\int_{t_n}^{t_{n+1}} \\pmb{L}(\\pmb{u})\\:dt + \\int_{t_n}^{t_{n+1}} \\pmb{N}(\\pmb{u})\\:dt\n", "$$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "slideshow": { "slide_type": "slide" } }, "source": [ "### Termo da pressão:\n", "\n", "$$\n", "\\int_{t_n}^{t_{n+1}} \\nabla p \\: dt = \\Delta t \\nabla\\bar{p}^{n+1}\n", "$$\n", "$\\bar{p}^{n+1}$ é o campo escalar que garante que o campo de velocidades seja incompressível no instante n+1\n", "\n", "### Termo convectivo (Adams-Bashforth):\n", "$$\n", "\\int_{t_n}^{t_{n+1}} \\pmb{N}(\\pmb{u})\\:dt = \\Delta t \\sum_{q=0}^{J_e-1}\\beta_q \\pmb{N}(\\pmb{u^{n-q}})\n", "$$ \n", "\n", "### Termo difusivo (Adams-Moulton):\n", "$$\n", "\\int_{t_n}^{t_{n+1}} \\pmb{L}(\\pmb{u})\\:dt = \\Delta t \\sum_{q=0}^{J_i-1}\\gamma_q \\pmb{L}(\\pmb{u^{n+1-q}})\n", "$$ \n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "slideshow": { "slide_type": "slide" } }, "source": [ "### O esquema de integração tem a seguinte forma:\n", "$$\n", "\\frac{\\pmb{\\hat{u}}-\\pmb{u^n}}{\\Delta t} = \\sum_{q=0}^{J_e-1}\\beta_q \\pmb{N}(\\pmb{u^{n-q}})\\\\\n", "\\frac{\\pmb{\\hat{\\hat{u}}}-\\pmb{\\hat{u}}}{\\Delta t} = - 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Aproximação e interpolação\n", " * $\\nabla^2 u^\\delta - f = \\varepsilon(x)$ - Erro da equação diferencial\n", " * Resíduos ponderados $\\int_\\Omega w_i(x) \\nabla^2 u^\\delta \\:dx = \\int_\\Omega f w_i(x)\\:dx$\n", " * Formulação fraca: $ -\\int_\\Omega \\nabla w_i(x) \\cdot \\nabla u^\\delta \\:dx + \\int_{\\partial\\Omega} w_i\\frac{\\partial u}{\\partial n} = \\int_\\Omega f w_i(x)\\:dx$\n", " * Galerkin: $w_i(x) = \\phi_i(x)$\n", " * Sistema linear: $\\left[A\\right]\\cdot\\left\\{\\hat{u}\\right\\} = \\left\\{f\\right\\}$, \n", " $$A_{i,k} = -\\int_\\Omega\\nabla\\phi_i\\cdot\\nabla\\phi_k\\:dx + \\int_{\\partial\\Omega}\\phi_i\\frac{\\partial u}{\\partial n}\\\\\n", " f_i = \\int_\\Omega f\\phi_i\\:dx\n", " $$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "slideshow": { "slide_type": "slide" } }, "source": [ "## O que vamos fazer:\n", "\n", " * Aprender a aproximar funções (e dados):\n", " $$\n", " u(x)\\approx u^\\delta(x) = \\sum_{i=1}^N \\hat{u}_i \\phi_i(x)\n", " $$\n", " * Aprender a calcular integrais:\n", " $$\n", " \\int_a^b u(x)\\:dx \\approx \\sum_{i=1}^N \\omega_i u(x_i)\n", " $$\n", " * Aprender a calcular derivadas:\n", " $$\n", " \\frac{du(x)}{dx}\n", " $$\n", " * Juntar tudo isso e tornar problemas mais difíceis em mais fáceis:\n", " * Problema não linear -> Problema linear\n", " * Equação diferencial parcial -> Equação diferencial ordinária\n", " * Reduzir praticamente qualquer problema em um sequência de sistemas lineares.\n", " \n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "slideshow": { "slide_type": "slide" } }, "source": [ " # Nesta jornada vamos tentar aprender a programar em Julia\n", " \n", " * A linguagem de programação Julia\n", " * Engenharia de Software: pode ser utilizado em muito mais do que software apenas!\n", " * Pensar nas nossas ferramentas e ambiente\n", " " ] } ], "metadata": { "@webio": { "lastCommId": null, "lastKernelId": null }, "celltoolbar": "Slideshow", "kernelspec": { "display_name": "Julia 1.4.1", "language": "julia", "name": "julia-1.4" }, "language_info": { "file_extension": ".jl", "mimetype": "application/julia", "name": "julia", "version": "1.4.1" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 }